07-1．モールの定理（その１）

単純梁や片持ち梁に集中荷重やモーメント荷重が加わるときの部材の「たわみ」や「回転角（たわみ角）」を求める方法に「モールの定理」があります．
「モールの定理（その１）」のインプットのコツでは，まず最初に，単純梁と片持ち梁に集中荷重やモーメント荷重が加わるときのモールの定理による計算方法を説明します．
「モールの定理（その２）」のインプットのコツでは，部材端部以外に支点がある架構や連続梁に集中荷重やモーメント荷重が加わるときのモールの定理による計算方法を説明します．続いて，「モールの定理の元になっている考え方」他に関して説明します．

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「モールの定理」の基本として，
　
ポイント１．「各点の回転角は，弾性荷重によるその点のせん断力Ｑに等しい」「各点のたわみは，弾性荷重によるその点のモーメントＭに等しい」
　
ポイント２．「ピン支点，ローラー支点はそのまま」「固定端は自由端に，自由端は固定端に変更する」
　
があります．　
ここで，「弾性荷重」とは，（梁に生じる）曲げモーメントＭを，その梁の曲げ剛性ＥＩで割ったＭ／ＥＩのことを指します．
言葉だけではイメージし難いので，具体例を用いて説明していきましょう．

上図のような単純梁のＣ点におけるたわみδＣ，Ｂ点における回転角θＢ（Ａ点における回転角θＡ）を求めてみましょう．
　
手順１．Ｍ図を求めます．Ｍ図は下図のようになりますね．

手順２．上図のように，部材中の各点に発生する曲げモーメントＭをＥＩで割った数値をＭ図が発生する側と逆側に荷重（弾性荷重）として作用させます．
この時に，ポイント２．に注意しましょう．上図の問題では，単純梁であるため，ピン支点とローラー支点しかないため，支点の変更はありません．

外力系の釣り合いは上図のようになるため，支点反力ＶＡ＝ＶＢ＝ＰＬ＾２／１６ＥＩとなります．
よって，Ａ点における回転角θＡ，Ｂ点における回転角θＢ，Ｃ点におけるたわみδＣは

のような場合ですね．
手順は単純梁の場合と同様です．
Ｍ図は下図のようになりますね．

ＭをＥＩで割った弾性荷重を作用させた場合を考えて見ましょう．
ポイント２．に注意しましょう．「固定端は自由端に，自由端は固定端に変更する」とは，具体的には上図のように，弾性荷重を考えるときに，支点の状態を変更して考えることを指します．
この三角形の弾性荷重は，

のように，集中荷重に置き換えて考えて見ましょう．重心位置に三角形の面積分の荷重がかかると考えればいいのです．
そうすると，Ａ点の回転角θＡ，Ｂ点の回転角θＢ，Ａ点のたわみδＡは

のようになります．問題の図において，Ｂ点は固定端であるため，Ｂ点の回転角はゼロになるのは理解できますね．

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続いて，下図のように，片持ち梁の（先端以外の）ある点に集中荷重が加わるときについて考えて見ましょう．

Ｍ図は下図のようになります．

弾性荷重を考えると上図のようになることがわかると思います（支点の変更に注意！）．
下図のように，三角形荷重を集中荷重に置き換えて考えると

Ａ点，Ｂ点の回転角とＡ点のたわみは

のようになります．

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続いて，モーメント荷重が加わるときについて考えて見ましょう．

上図のような問題ですね．
モーメント荷重が加わる場合の考え方は，集中荷重が加わるときと同様です．
まずは，モーメント図を考えましょう．

上図のように，弾性荷重を考えます．この問題の場合は，単純梁であるため，ポイント２．の支点の変更はありません．
ポイント１．より，Ａ点，Ｂ点のせん断力ＱＡ，ＱＢを求める（＝支点反力ＶＡ，ＶＢと同じ値になります）ことにより，Ａ点とＢ点の回転角θＡとθＢが求まります．Ｃ点のモーメントの値ＭＣを求めることで，Ｃ点のたわみδＣが求まります．

次に，この問題におけるたわみが最大の点のたわみδｍａｘを求めてみましょう．
δｍａｘはθ＝０の位置であることは理解できるでしょうか．
単純梁の部材中央に集中荷重が加わる場合（このインプットのコツの一番上の図参照）を考えて見ましょう．
部材中央のＣ点のたわみが最も大きいことは理解できると思います．この図において，端部（Ａ点，Ｂ点）の回転角θＡとθＢが最も大きく，中央部Ｃ点の回転角θＣはゼロであることがわかるかと思います．
　
ポイント３．たわみの最大値は，回転角がゼロとなる位置で生じる！
　
では，単純梁にモーメント荷重が加わる場合のδｍａｘを求めてみましょう．
下図のように，弾性荷重を考え，Ｂ点から任意の点（Ｂ点から距離ｘだけ離れた点をｘ点とします）でのせん断力Ｑｘを計算します．

上図のように，ｘ点より右側を考え（左側でも構いません）ます．Ｂ点の支点反力は上向きにＭＬ／６ＥＩ，弾性荷重のうち，今回対象範囲（ｘ点から右側の部分の三角形）を集中荷重に置き換えて考えるとＰ＝Ｍｘ＾２／２ＥＩＬとなります．
よって，ｘ点でのせん断力Ｑｘは

となり，δｍａｘはＢ点よりＬ／√３の位置で生じることがわかります．

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下図のような片持ち梁にモーメント荷重が加わるときについてはどうでしょうか．

Ｍ図は下図のようになり，

弾性荷重Ｍ／ＥＩは上図のようになりますね．
Ａ点でのせん断力ＱＡはＭ／ＥＩとなり，Ａ点でのモーメントはＭＬ＾２／２ＥＩとなることが理解していただけると思います．

以上の説明は理解できましたでしょうか．
　
「モールの定理（その１）」のインプットのコツでは，単純梁や片持ち梁に集中荷重，モーメント荷重が加わる場合の「モールの定理」の計算方法について説明しました．
　
通常のテキストなどでは，「モールの定理」とは，単純梁と片持ち梁を対象とした説明になっていると思われます．しかし，この考え方を拡張すると，架構の中間に支点のある架構にも適用することができます．
　 　
それについては「モールの定理（その２）」のインプットのコツで説明します．